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b) Tableaux à deux dimensions - Matrices



Exercice 7.17 Mise à zéro de la diagonale principale d'une matrice

Ecrire un programme qui met à zéro les éléments de la diagonale principale d'une matrice carrée A donnée.


Exercice 7.18 Matrice unitaire

Ecrire un programme qui construit et affiche une matrice carrée unitaire U de dimension N. Une matrice unitaire est une matrice, telle que:


/ 1 si i=j

uij =
|

\ 0 si ij


Exercice 7.19 Transposition d'une matrice

Ecrire un programme qui effectue la transposition tA d'une matrice A de dimensions N et M en une matrice de dimensions M et N.

a) La matrice transposée sera mémorisée dans une deuxième matrice B qui sera ensuite affichée.

b) La matrice A sera transposée par permutation des éléments.

Rappel:

           /         \      /       \
   tA =  t | a b c d |  =   | a e i |
           | e f g h |      | b f j |
           | i j k l |      | c g k |
           \         /      | d h l |
                            \       /


Exercice 7.20 Multiplication d'une matrice par un réel

Ecrire un programme qui réalise la multiplication d'une matrice A par un réel X.

Rappel:

       /         \     /                 \
       | a b c d |     | X*a X*b X*c X*d |
   X * | e f g h |  =  | X*e X*f X*g X*h |
       | i j k l |     | X*i X*j X*k X*l |
       \         /     \                 /
a) Le résultat de la multiplication sera mémorisé dans une deuxième matrice A qui sera ensuite affichée.

b) Les éléments de la matrice A seront multipliés par X.


Exercice 7.21 Addition de deux matrices

Ecrire un programme qui réalise l'addition de deux matrices A et B de mêmes dimensions N et M.

Rappel:

/         \   /             \     /                     \
| a b c d |   | a' b' c' d' |     | a+a' b+b' c+c' d+d' |
| e f g h | + | e' f' g' h' |  =  | e+e' f+f' g+g' h+h' |
| i j k l |   | i' j' k' l' |     | i+i' j+j' k+k' l+l' |
\         /   \             /     \                     /
a) Le résultat de l'addition sera mémorisé dans une troisième matrice C qui sera ensuite affichée.

b) La matrice B est ajoutée à A.


Exercice 7.22 Multiplication de deux matrices

En multipliant une matrice A de dimensions N et M avec une matrice B de dimensions M et P on obtient une matrice C de dimensions N et P:

A(N,M) * B(M,P) = C(N,P)

La multiplication de deux matrices se fait en multipliant les composantes des deux matrices lignes par colonnes:

Rappel:

	/       \     /     \      /                                     \
	| a b c |     | p q |      | a*p + b*r + c*t     a*q + b*s + c*u |
	| e f g |  *  | r s |  =   | e*p + f*r + g*t     e*q + f*s + g*u |
	| h i j |     | t u |      | h*p + i*r + j*t     h*q + i*s + j*u |
	| k l m |     \     /      | k*p + l*r + m*t     k*q + l*s + m*u |
	\       /                  \                                     /

Ecrire un programme qui effectue la multiplication de deux matrices A et B. Le résultat de la multiplication sera mémorisé dans une troisième matrice C qui sera ensuite affichée.


Exercice 7.23 Triangle de Pascal

Ecrire un programme qui construit le triangle de PASCAL de degré N et le mémorise dans une matrice carrée P de dimension N+1.

Exemple: Triangle de Pascal de degré 6:


n=0


1







n=1

1
1






n=2

1
2
1





n=3

1
3
3
1




n=4

1
4
6
4
1



n=5

1
5
10
10
5
1


n=6

1
6
15
20
15
5
1

Méthode:

Calculer et afficher seulement les valeurs jusqu'à la diagonale principale (incluse). Limiter le degré à entrer par l'utilisateur à 13.

Construire le triangle ligne par ligne:

- Initialiser le premier élément et l'élément de la diagonale à 1.

- Calculer les valeurs entre les éléments initialisés de gauche à droite en utilisant la relation:

Pi,j = Pi-1,j + Pi-1,j-1


Exercice 7.24 Recherche de 'points-cols'

Rechercher dans une matrice donnée A les éléments qui sont à la fois un maximum sur leur ligne et un minimum sur leur colonne. Ces éléments sont appelés des points-cols. Afficher les positions et les valeurs de tous les points-cols trouvés.

Exemples: Les éléments soulignés sont des points-cols:

/           \   /         \   /           \   /       \
| 1 8 3 4 0 |   | 4 5 8 9 |   | 3 5 6 7 7 |   | 1 2 3 |
|           |   | 3 8 9 3 |   | 4 2 2 8 9 |   | 4 5 6 |
| 6 7 2 7 0 |   | 3 4 9 3 |   | 6 3 2 9 7 |   | 7 8 9 |
\           /   \         /   \           /   \       /
Méthode: Etablir deux matrices d'aide MAX et MIN de même dimensions que A, telles que:



/ 1 si A[i,j] est un maximum


MAX[i,j] =
| sur la ligne i


\ 0 sinon





/ 1 si A[i,j] est un minimum

MIN[i,j] =
| sur la colonne j


\ 0 sinon


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